. Bem vindo à apresentação sobre derivadas. Penso que vais achar que é aqui que a matemática começa a tornar-se muito mais divertida do que há uns vídeos atrás. Bem, vamos começar com as nossas derivadas. Eu sei que parece muito complicado. Bem, em geral, se eu tenho uma linha reta – deixa ver se eu consigo desenhá-la corretamente – se eu tenho uma linha – estes são os meus eixos coordenados, que não estão direitos – isto é uma linha reta. . Mas quando eu tenho uma linha reta como esta, e eu te peço para encontrar o declive – Acho que já sabes como se faz – é só a taxa de variação de y a dividir pela taxa de variação de x.

Se eu quiser descobrir o declive -o declive é o mesmo, porque é uma linha reta, o declive é o mesmo ao longo de toda a reta, mas se eu quiser encontrar o declive em qualquer ponto desta reta, o que eu faço é escolher um ponto x – por exemplo este. Vou escolher uma cor diferente – Vou escolher este ponto e este ponto – É indiferente, poderia escolher quaisquer dois pontos, e conseguia qual a taxa de variação de y – esta é a taxa de variação de y, delta y, esta é apenas outra forma de dizer taxa de variação de y – e esta é a taxa de variação de x, delta x. E descobrimos que o declive é simplesmente a taxa de variação de y a dividir pela taxa de variação de x. . E outra forma de dizer isto é delta – é este triângulo – delta y a dividir por delta x. Muito simples. Agora o que acontece se não estivermos a lidar com uma linha reta? Deixa ver se tenho espaço para desenhar isto. Mais eixos coordenados. É confuso, mas acho que dá para entender. . Agora imaginemos, em vez de uma reta normal como esta, que segue a expressão y é igual a mx mais b.

Imaginemos que tenho uma curva igual a x ao quadrado. Deixa-me desenhar numa cor diferente. Então, y igual a x ao quadrado é mais ou menos isto. É uma curva, já a deves conhecer. E o que eu te vou perguntar é, qual é o declive desta curva? E pensa bem. O que é que significa calcular o declive de uma curva? Bem, nesta reta o declive era sempre o mesmo ao longo de toda a reta.

Mas, se vires esta curva, o declive varia, não é? Aqui é quase nulo, e torna-se cada vez mais inclinado, mais inclinado até que fica muito inclinado. E se me afastar muito, fica muito inclinado. Deves estar a dizer, como é que eu descubro o delive de uma curva cujo declive está sempre a mudar? Bem, não há um declive para a curva inteira. Para uma reta, há um declive para a reta inteira, porque o declive nunca muda. Mas o que podemos tentar fazer é descobrir o declive num dado ponto. E o declive num dado ponto vai ser igual ao declive da reta tangente Por exemplo – deixa-me escolher o verde – o declive neste ponto aqui é o mesmo que o declive desta reta.

Não é? Porque esta reta é tangente ao ponto. Então, só toca na curva neste mesmo ponto. Esta curva azul, y igual a x ao quadrado tem o mesmo declive que esta reta verde. Mas se virmos um ponto cá atrás, apesar de ser um gráfico muito mal desenhado, o declive será mais ou menos isto. O declive tangente. O declive será negativo, e este declive aqui é positivo, mas se virmos este ponto aqui, o declive vai ser ainda mais positivo. Então como é que vamos descobrir isto? Como é que descobrimos o declive em qualquer ponto da curva y igual a x ao quadrado? É aqui que entra a derivada, e agora pela primeira vez vais perceber porque é que um limite é mesmo um conceito útil. Vou só voltar a desenhar a curva. Bem vou desenhar os eixos, aqui está o eixo dos y – vou só fazer o primeiro quadrante – e esta é – Eu tenho mesmo de arranjar uma ferramenta melhor para fazer – esta é a coodenada dos x, e agora deixa-me desenhar a minha curva a amarelo. . Então y igual a x ao quadrado parece-se com isto.

Estou mesmo decidido em desenhar isto minimamente bem. Muito bem. Então imaginemos que queremos descobrir o declive neste ponto. . Vamos chamar a este ponto a. Neste ponto, x é igual a a E, claro, isto é o f de a. . Então o que podíamos tentar fazer é tentar encontar o declive da reta secante. Uma linha entre – escolhemos outro ponto, próximo desde ponto do gráfico, por exemplo este, e se descobrirmos o declive desta reta, será uma aproximação do declive desta reta exatamente neste ponto.

Deixa-me só desenhar a reta secante, . Mais ou menos isto. A reta secante é mais ou menos isto. E vamos imaginar que este ponto aqui é a mais h em que a distância é apenas h, isto é a mais h, vamos só acrescentar h a este ponto, e este ponto aqui é f de a mais h. . A minha caneta não está a funcionar. . Então, isto será uma aproximação do declive neste ponto. E quanto menor for o h, mais próximo estará este ponto deste ponto, melhor será a nossa aproximação, até ao momento, em que conseguiríamos o declive em que h é igual a zero, assim seria mesmo o declive, o declive instantâneo, neste ponto da curva. Mas como é que podemos descobrir o declive quando h é igual a zero? . Então, neste momento, estamos a ver que o declive entre estes dois pontos, é a taxa de variação de y, o que é a taxa de variação de y? É isto, então este ponto aqui é a coordenada do x é – isto está sempre a deixar de funcionar a coordenada do x é a mais h, e a coordenada do y é f de a mais h.

. E este ponto aqui, as coordenadas são a e f de a Então se usarmos a fórmula do declive como há pouco, temos a taxa de variação de y sobre a taxa de variação de x. Be, qual é a taxa de variação de y? É f de a mais h – esta coordenada de y menos esta coordenada de y – menos f de a, sobre a taxa de variação de x.

Bem, a taxa de variação de x é esta coordenada de x, a mais h, menos esta coordenada de x, menos a. E, claro, este a corta com este a. Então é f de a mais h, menos f de a, tudo sobre h. Este é o declive desta reta secante. E, se quisermos saber o declive da reta tangente, temos de descobrir o que acontece à medida que h se torna menor e menor e menor. E acho que estás a perceber. Na verdade, só queremos, se quisermos descobrir o declive desta reta tangente, só temos de descobrir o limite deste valor à medida que h se aproxima de zero. E, à medida que h se aproxima de zero, a reta secante aproxima-se cada vez mais do declive da reta tangente. E assim saberemos o valor exato do declive num ponto instentâneo ao longo da curva.

E, na verdade, esta é a definição de derivada. E a derivada não é mais que o declive de uma curva num ponto específico. E isto é muito útil, porque pela primeira vez, tudo o que falámos até agora foi o declive de uma reta. Mas agora podemos pegar em qualquer curva contínua, na maior parte das curvas contínuas, e descobrir o declive da curva num ponto específico. Então, agora que já te dei a definição de derivada, e espero que talvez um pouco de noções intuitivas, na próxima apresentação eu vou usar esta definição para aplicar a algumas funções, como x ao quadrado e outras, e vou dar alguns outros problemas.

O vejo na próxima apresentação. .

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